Question

8．如图矩形ABCD是一张标准纸，长BC=AD=$\sqrt{2}$，AB=CD=1，把△BCF沿CF对折使点B恰好落在边AD上的点E处，再把△DCH沿CH对折使点D落在线段CE上的点G处．
（1）求证：△AEF≌△GHE；
（2）利用该图形试求tan22.5°的值．

Answer 1

分析 根据折叠的性质得到CE=CB=$\sqrt{2}$，CG=CD=1，∠FEC=∠B=90°，∠HGC=∠HGE=∠D=90°，求得CE=$\sqrt{2}$CD，∠HGE=∠A=90°，根据三角函数的定义得到△EC是等腰直角三角形，得到AE=EG，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
  （2）根据等腰直角三角形的性质得到EG=HG=DH=$\sqrt{2}$-1，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：（1）∵BC=AD=$\sqrt{2}$，AB=CD=1，
∵把△BCF沿CF对折使点B恰好落在边AD上的点E处，再把△DCH沿CH对折使点D落在线段CE上的点G处，
∴CE=CB=$\sqrt{2}$，CG=CD=1，∠FEC=∠B=90°，∠HGC=∠HGE=∠D=90°，
∴CE=$\sqrt{2}$CD，∠HGE=∠A=90°，
∴tan∠DEC=$\frac{CD}{EC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，EG=EC-GC=$\sqrt{2}$-1，
∴∠DEC=45°，
∴△DEC是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°，
∴DE=DC，∠AEF=∠DEC，
∴AE=AD-DE=$\sqrt{2}$-1，
∴AE=EG，
在△AEF与△GHE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠EGH}\\{AE=EG}\\{∠AEF=∠GEH}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△GHE； 
  （2）由（1）知∠DCH=∠GCH=$\frac{1}{2}×$45°=2.5°，DH=GH，△HEG是等腰直角三角形，
∴EG=HG=DH=$\sqrt{2}$-1，
∴tan∠DCH=tan22.5°=$\frac{DH}{CD}$=$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．