Question

15．如图，在坐标系中，线段OA在第一象限，OA=5，OA与x轴的夹角α的正切tanα=$\frac{3}{4}$，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）图象经过点A，OA绕点O旋转后落在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上另一点B，点B与x轴距离是4．
（1）求点A的坐标和反比例函数的关系式．
（2）写出点B的坐标，求直线AB的关系式y=ax+b．
（3）直接写出当x＞0时，不等式ax+b＞$\frac{k}{x}$的解集．

Answer 1

分析 （1）由题意A、B关于直线y=x对称，设A（m，n）则B（n，m），由题意$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{\frac{n}{m}=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=3}\end{array}\right.$，求出点A的坐标，即可解决问题．
（2）求出A、B两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（3）利用图象，直线y=kx+b的图象在反比例函数图象的上方，由此即可写出自变量的取值范围．

解答 解：（1）根据对称性，反比例函数关于直线y=x对称，
∵OA=OB，A、B在反比例函数图象上，
∴A、B关于直线y=x对称，设A（m，n）则B（n，m），
由题意$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{\frac{n}{m}=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴A（4，3），B（3，4），
∴k=12，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{12}{x}$．

（2）由（1）可知A（4，3），B（3，4），则有$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=3}\\{3k+b=4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=7}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x+7．

（3）由图象可知，当x＞0时，不等式ax+b＞$\frac{k}{x}$的解集为3＜x＜4．

点评 本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用，待定系数法、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是发现A、B关于直线y=x对称，属于中考常考题型．