Question

8．已知$\sqrt{a-1}$+$\sqrt{ab-2}$=0，
求$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{（a+1）（b+1）}$+$\frac{1}{（a+2）（b+2）}$+…+$\frac{1}{（a+2013）（b+2013）}$的值．

Answer 1

分析 根据非负数的性质得到a-1=0，ab-2=0，解得a=1，b=2，则原式=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$，然后利用$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$进行计算即可．

解答 解：∵$\sqrt{a-1}$+$\sqrt{ab-2}$=0，
∴a-1=0，ab-2=0，
∴a=1，b=2，
原式=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2014×2015}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$
=1-$\frac{1}{2015}$
=$\frac{2014}{2015}$．

点评 本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．解决本题的关键是利用$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$进行化简．