Question

3．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点，点B的坐标为（-3，0），且OC=3OA，直线y=x+m经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先把点B代入y=x+m，求得m的值，求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC²=18，PB²=（-1+3）²+t²=4+t²，PC²=（-1）²+（t-3）²=t²-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值，即可求出点P的坐标．

解答 解：（1）把B（-3，0）代入y=x+m，
得-3+m=0，m=3，
∴直线的解析式为y=x+3；
∴点C的坐标为（0，3），
∵OC=3OA，
∴点A的坐标为（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；
（2）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴对称轴是直线x=-1，
设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=-1代入直线y=x+3得，y=2，
∴M（-1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（-1，2）；
（3）设P（-1，t），又∵B（-3，0），C（0，3），
∴BC²=18，PB²=（-1+3）²+t²=4+t²，PC²=（-1）²+（t-3）²=t²-6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC²+PB²=PC²
即：18+4+t²=t²-6t+10解之得：t=-2；
②若点C为直角顶点，则BC²+PC²=PB²
即：18+t²-6t+10=4+t²解之得：t=4，
③若点P为直角顶点，则PB²+PC²=BC²
即：4+t²+t²-6t+10=18解之得：t₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，t₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$；
综上所述P的坐标为（-1，-2）或（-1，4）或（-1，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$） 或（-1，$\frac{3-\sqrt{17}}{3}$）．

点评 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．