已知抛物线C1:y=2ax2-bx-1经过两点．(1)求抛物线C1的解析式,(2)将抛物线C1沿直线y=-1翻折.再将翻折后的抛物线.先向上平移2个单位.再向右平移m个单位.得到抛物线C2．若C2的顶点B在抛物线C1上.求m的值,的条件下.设抛物线C1的顶点为A.E为抛物线C1上的一点.F为抛物线C2上的一点.则以A.B.E.F为顶点的平行四边形是否存在?若存在.有� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知抛物线C₁：y=2ax²-bx-1经过（1，-2）和（3，2）两点．
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）将抛物线C₁沿直线y=-1翻折，再将翻折后的抛物线，先向上平移2个单位，再向右平移m个单位，得到抛物线C₂．若C₂的顶点B在抛物线C₁上，求m的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线C₁的顶点为A，E为抛物线C₁上的一点，F为抛物线C₂上的一点，则以A，B，E，F为顶点的平行四边形是否存在？若存在，有多少个？说明理由．

考点：二次函数综合题,解二元一次方程组,解一元二次方程-直接开平方法,待定系数法求二次函数解析式,平行四边形的判定,中心对称

专题：综合题

分析：（1）用待定系数法就可求出抛物线C₁的解析式．
（2）先求出抛物线C₁的顶点坐标为（1，-2），然后根据条件得到抛物线C₂的顶点B的坐标为（1+m，2），把点B的坐标代入抛物线C₁的解析式就可求出m的值．
（3）由于抛物线C₁与抛物线C₂的现状相同，开口相反，且抛物线C₁的顶点A与抛物线C₂的顶点B关于AB的中点C成中心对称，因此抛物线C₁与抛物线C₂也关于点C成中心对称．所以在抛物线C₁上任取一点E（A、B除外），连接EC并延长交抛物线C₂于点F，必有EC=FC，连接AE、EF、BF、BE，四边形EAFB一定是平行四边形，所以以A，B，E，F为顶点的平行四边形有无数个．

解答：解：（1）∵抛物线C₁：y=2ax²-bx-1经过（1，-2）和（3，2）两点，
∴

2a-b-1=-2

18a-3b-1=2

．
解得：

b=2

．
∴抛物线C₁的解析式为y=x²-2x-1．

（2）∵抛物线C₁的解析式为y=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∴顶点坐标为（1，-2）．
∵点（1，-2）关于直线y=-1对称点的坐标为（1，0），
∴点B的坐标为（1+m，2）．
∵B在抛物线C₁上，
∴（1+m-1）²-2=2．
解得：m₁=2，m₂=-2（舍去）．
∴m的值为2．

（3）以A，B，E，F为顶点的平行四边形存在．
由题可知：A（1，-2）、B（3，2），抛物线C₂的解析式为y=-（x-3）²+2．
则线段AB的中点C的坐标为（

1+3

，

-2+2

），即（2，0）．
当x=1时，y=-（1-3）²+2=-2，所以点A（1，-2）在抛物线C₂上．
所以抛物线C₁与抛物线C₂关于点C成中心对称．
在抛物线C₁上任取一点E（A、B除外），连接EC并延长交抛物线C₂于点F，
连接AE、EF、BF、BE，如图所示，必有EC=FC．
∵EC=FC，AC=BC，
∴四边形EAFB是平行四边形．
∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形有无数个．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、中心对称、平行四边形的判定、解二元一次方程组、直接开平方法解一元二次方程等知识，而利用中心对称是解决第三小题的关键，有创意，是一道好题．