Question

证明：等边三角形内心与外心重合，并且外接圆半径是内切圆半径的2倍．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心,等边三角形的性质,三角形的外接圆与外心

专题：证明题

分析：先写出已知：△ABC为等边三角形，点O为内心；求证：点O为△ABC的外心，外接圆半径是内切圆半径的2倍，再进行证明：连结AO并延长交BC于D，连结BO并延长交AC于E，如图，根据内心的性质得AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，再根据等边三角形的性质得AD垂直平分BC，BE垂直平分AC，于是根据三角形外心的定义即可得到点O为△ABC的外心；易得OD为△ABC内切圆的半径，OB为外接圆半径，利用OB平分∠ABC，∠ABC=60°得到∠OBD=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到OB=2OD．

解答：已知：△ABC为等边三角形，点O为内心．
求证：点O为△ABC的外心，外接圆半径是内切圆半径的2倍．
证明：连结AO并延长交BC于D，连结BO并延长交AC于E，如图，
∵点O为△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
而△ABC为等边三角形，
∴AD⊥BC，BD=CD，BE⊥AC，AE=CE，
即AD垂直平分BC，BE垂直平分AC，
∴点O为△ABC的外心；
∵OD⊥BC，
∴OD为△ABC内切圆的半径，
∵OB平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠OBD=30°，
∴OD=

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OB，
∴△ABC外接圆半径OB是内切圆半径OD的2倍，
所以等边三角形内心与外心重合，并且外接圆半径是内切圆半径的2倍．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．也考查了等边三角形的性质．