题目内容

17．阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道：|x|=$\left\{\begin{array}{l}{x（x＞0）}\\{0（x=0）}\\{-x（x＜0）}\end{array}\right.$．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x-2|时，可令x+1=0和x-2=0，分别求得x=-1，x=2（称-1，2分别为|x+1|与|x-2|的零点值）．在实数范围内，零点值x=-1和，x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
①x＜-1；②-1≤x＜2；③x≥2．
从而化简代数式|x+1|+|x-2|可分以下3种情况：
①当x＜-1时，原式=-（x+1）-（x-2）=-2x+1；
②当-1≤x＜2时，原式=x+1-（x-2）=3；
③当x≥2时，原式=x+1+x-2=2x-1．综上讨论，原式=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+1（x＜-1）}\\{3（-1≤x＜2）}\\{2x-1（x≥2）}\end{array}\right.$．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）化简代数式|x+2|+|x-4|．
（2）求|x-1|-4|x+1|的最大值．

分析 （1）分为x＜-2、-2≤x＜4、x≥4三种情况化简即可；
（2）分x＜-1、-1≤x≤1、x＞1分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值．

解答 解：（1）当x＜-2时，|x+2|+|x-4|=-x-2+4-x=-2x+2；
当-2≤x＜4时，|x+2|+|x-4|=x+2+4-x=6；
当x≥4时，|x+2|+|x-4|=x+2+x-4=2x-2；
（2）当x＜-1时，原式=3x+5＜2，
当-1≤x≤1时，原式=-5x-3，-8≤-5x-3≤2，
当x＞1时，原式=-3x-5＜-8，
则|x-1|-4|x+1|的最大值为2．

点评 本题主要考查了绝对值，解题的关键是能根据材料所给信息，找到合适的方法解答．

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B．开口向上，对称轴为直线x=1，顶点（1，-2）
C．开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点（1，2）
D．开口向下，对称轴为直线x=1，顶点（1，-2）

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