Question

10．平行四边形ABCD中，AB=28，E、F是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，DE交AB于点M，MF交CD于点N．求AM、CN的长．

Answer 1

分析 根据已知条件，先证明△AEM∽△CED，然后利用相似三角形的对应边成比例这一性质求得AM=$\frac{1}{2}$AB；再来证明△AFM∽△CFN，依据相似三角形的性质求的CN的长度．

解答 解：在△AEM和△CED中，
∠CAB=∠DCA（内错角相等），
∠AEM=∠CED，
∴△AEM∽△CED，
∴$\frac{AM}{CD}=\frac{AE}{EC}$，
∵AE=EF=FC，
∴$\frac{AM}{CD}=\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AM=$\frac{1}{2}$CD；
∵AB=CD，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=14，①；
在△AFM和△CFN中，
∠FAM=∠FCN（内错角相等），∠AFM=∠CFN（对顶角相等），
∴△AFM∽△CFN，
∴$\frac{AM}{CN}=\frac{AF}{CF}$=2，
∴CN=$\frac{1}{2}$AM②；
∵AB=28 ③
由①②③解得，CN=7．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定定理：两个三角形中，两个对应角相等，则这两个三角形相似，以及相似三角形的性质：对应边成比例．