Question

把抛物线y=-2x²+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，向所得的抛物线有没有最大值，若有，求出最大值；若没有，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：几何变换

分析：先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，3），再根据点平移的规律得到点（1，3）平移后所得对应点的坐标为（-1，6），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式，再利用二次函数的性质解决最大值问题．

解答：解：y=-2x²+4x+1=-2（x-1）²+3，抛物线的顶点坐标为（1，3），把点（1，3）先向左平移2个单位，再向上平移3个单位所得对应点的坐标为（-1，6），所以平移后的抛物线解析式为y=-2（x+1）²+6，
因为a=-2＜0，
所以当x=-1时，所得二次函数有最大值，最大值为6．

点评：本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．