Question

3．如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板．在它的三个顶点处分剐截去一个全等的四边形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱形纸盒，使它的侧面积等于底面积．求：
（1）纸盒的高．
（2）截去部分的面积与原三角形纸板面积的比．

Answer 1

分析 （1）设盒子高为xcm，则筝形的长边为$\sqrt{3}$xcm，盒子的底边长为（6-2$\sqrt{3}$x）cm，底面积：$\frac{\sqrt{3}}{4}$（6-2$\sqrt{3}$x）²cm²，侧面积：3x（6-2$\sqrt{3}$x）cm²，根据侧面积等于底面积，列出方程即可求解；
（2）求出当x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，截去部分的面积和原三角形纸板面积，即可得出结论．

解答 解：（1）设盒子高为xcm，则筝形的长边为$\sqrt{3}$xcm，盒子的底边长为（6-2$\sqrt{3}$x）cm，
底面积：$\frac{\sqrt{3}}{4}$（6-2$\sqrt{3}$x）²cm²，
侧面积：3x（6-2$\sqrt{3}$x）cm²，
则$\frac{\sqrt{3}}{4}$（6-2$\sqrt{3}$x）²=3x（6-2$\sqrt{3}$x），
解得x₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=$\sqrt{3}$（不合题意，舍去）；
故盒子高为$\frac{\sqrt{3}}{3}$cm；
（2）当x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，侧面积=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（6-2）=4$\sqrt{3}$cm²，
原等边三角形面积：$\frac{\sqrt{3}}{4}$×6²=9$\sqrt{3}$cm²，
剪去面积：9$\sqrt{3}$-8$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$cm²，
∴截去部分的面积与原三角形纸板面积的比=$\sqrt{3}$：9$\sqrt{3}$=1：9．

点评 本题考查了展开图折叠成几何体、等边三角形的性质、折叠的性质以及全等三角形的性质，解题的关键是求出盒子的高．