Question

9．设关于x的二次方程3（m-1）x²-2（m+2）x-（m+1）=0有正整数根，求整数m．

Answer 1

分析 利用因式分解法解方程易得x₁=-$\frac{1}{3}$，x₂=$\frac{m+1}{m-1}$，x=$\frac{m+1}{m-1}$为正整数，把x=$\frac{m+1}{m-1}$变形1+$\frac{2}{m-1}$，然后利用整数的整除性可确定m的值即可．

解答 解：3（m-1）x²-2（m+2）x-（m+1）=0
（3x+1）[（m-1）x-m-1]=0
解得x₁=-$\frac{1}{3}$，x₂=$\frac{m+1}{m-1}$，
∵关于x的二次方程3（m-1）x²-2（m+2）x-（m+1）=0有正整数根，
∴x=$\frac{m+1}{m-1}$=1+$\frac{2}{m-1}$为正整数，
∴m-1=1或2时，x=$\frac{2}{m-1}$为正整数，则m=2或3，
即所有满足条件的整数m的值为2或3．

点评 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．