Question

19．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为等值点．例如点（1，1）．（-2，-2）．（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），…，都是等值点．已知二次函数y=ax²+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个等值点（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$），且当m≤x≤3时，函数y=ax²+4x+c-$\frac{15}{8}$（a≠0）的最小值为-9，最大值为-1，则m的取值范围是-1≤m≤1．

Answer 1

分析 根据等值点的概念令ax²+4x+c=x，即ax²+3x+c=0，由题意，△=3²-4ac=0，即4ac=9，方程的根为$\frac{-3}{2a}$=$\frac{3}{4}$，从而求得a=-2，c=-$\frac{9}{8}$，所以函数y=ax²+4x+c-$\frac{15}{8}$=-2x²+4x-3，根据函数解析式求得顶点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．

解答 解：令ax²+4x+c=x，即ax²+3x+c=0，
由题意，△=3²-4ac=0，即4ac=9，
又方程的根为$\frac{-3}{2a}$=$\frac{3}{4}$，
解得a=-2，c=-$\frac{9}{8}$．                           
故函数y=ax²+4x+c-$\frac{15}{8}$=-2x²+4x-3=-2（x-1）²-1，
如图，该函数图象顶点为（1，-1），

由于函数图象在对称轴x=1左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
且当m≤x≤3时，函数y=-2x²+4x-3的最小值为-9，最大值为-1，
∴-1≤m≤1，
故答案为：-1≤m≤1．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．