Question

14．如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，且k≠0）的图象交于A（-1，a），B（b，1）两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；
（3）求△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，由点B的坐标可得出点D的坐标，根据点A、D的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）根据三角形的面积公式结合S_△PAB=S_△ABD-S_△BDP，即可得出结论．

解答 解：（1）当x=-1时，a=x+4=3，
∴点A的坐标为（-1，3）．
将点A（-1，3）代入y=$\frac{k}{x}$中，
3=$\frac{k}{-1}$，解得：k=-3，
∴反比例函数的表达式为y=-$\frac{3}{x}$．

（2）当y=b+4=1时，b=-3，
∴点B的坐标为（-3，1）．
作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示．
∵点B的坐标为（-3，1），
∴点D的坐标为（-3，-1）．
设直线AD的函数表达式为y=mx+n，
将点A（-1，3）、D（-3，-1）代入y=mx+n中，
$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=2}\\{-3m+n=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=5}\end{array}\right.$，
∴直线AD的函数表达式为y=2x+5．
当y=2x+5=0时，x=-$\frac{5}{2}$，
∴点P的坐标为（-$\frac{5}{2}$，0）．
（3）S_△PAB=S_△ABD-S_△BDP=$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次（反比例）函数解析式、轴对称中的最短路线问题、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点A的坐标利用待定系数法求出反比例函数表达式；（2）利用对称找出PA+PB的值最小时点P的位置；（3）利用分割图形求面积法求出△PAB的面积．