Question

7．在菱形ABCD中，P是直线BD上一点，点E在射线AD上，连接PC．
（1）如图1，当∠BAD=90°时，连接PE，交CD与点F，若∠CPE=90°，求证：PC=PE；
（2）如图2，当∠BAD=60°时，连接PE，交CD与点F，若∠CPE=60°，设AC=CE=4，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）先证出△ADP≌△CDP，得PA=PC，再证明PA=PE，得PC=PE；
（2）①如图2中，设AC交BD于O．首先证明PC=PE=PA，由∠CPE=60°推出PC=PE=CE=AC=4，由四边形ABCD是菱形，推出AC⊥BD，根据BP=PO+OB计算即可；②如图3中，利用①中方法计算即可；

解答 （1）证明：如图1中，连接PA．

在正方形ABCD中，AD=DC，
∠ADP=∠CDP=45°，
在△ADP和△CDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DC}\\{∠ADP=∠CDP}\\{DP=DP}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴PA=PC，∠DAP=∠DCP，
∵∠CPF=∠EDF=90°，∠PFC=∠EFD，
∴∠PCF=∠E，
∴∠PAD=∠E
∴PA=PE，
∴PC=PE；

（2）①如图2中，设AC交BD于O，连接CE．

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADO=∠CDO，
∴∠ADP=∠CDP，
∵DA=DC，DP=DP，
∴△ADP≌△CDP，
∴PA=PC，∠PAD=∠PCD，
∵∠CPE=∠CDF=60°，∠DFC=∠PFE，
∴∠E=∠PCD=∠PAD，
∴PA=PE=PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴AC=CE=PE=PA=PC=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴BP=PO+OB=2$\sqrt{3}$+$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
②如图3中，

利用①中方法可知PB=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．