Question

10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{3}{4}$x²+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线y=-$\frac{3}{4}$x+3经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，且点P的横坐标为a，如果S_△PCB=2，求a的值；
（3）若点M为抛物线y=-$\frac{3}{4}$x²+bx+c上的一个动点，在直线BC上是否存在一点N，使得以M，N，C，O为顶点且以OC为边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出B、C两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图设P（a，-$\frac{3}{4}$a²+$\frac{9}{4}$a+3），由S_△PBC=2，推出S_△POC+S_△POB-S_△OBC=2，可得$\frac{1}{2}$•3•a+$\frac{1}{2}$•4•（-$\frac{3}{4}$a²+$\frac{9}{4}$a+3）-$\frac{1}{2}$•4•3=2解方程即可解决问题；
（3）由题意当MN=OC，且MN∥OC时，以M，N，C，O为顶点且以OC为边的四边形是平行四边形，设N（m，-$\frac{3}{4}$m+3），则M（m，-$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{4}$m+3），由题意当MN=OC时，
则有|-$\frac{3}{4}$m+3-（-$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{4}$m+3）|=3，解方程即可；

解答 解：（1）由题意C（0，3），B（4，0），
把C（0，3），B（4，0）代入y=-$\frac{3}{4}$x²+bx+c，
得到$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-12+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{9}{4}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3．

（2）如图设P（a，-$\frac{3}{4}$a²+$\frac{9}{4}$a+3），
∵S_△PBC=2，
∴S_△POC+S_△POB-S_△OBC=2，
∴$\frac{1}{2}$•3•a+$\frac{1}{2}$•4•（-$\frac{3}{4}$a²+$\frac{9}{4}$a+3）-$\frac{1}{2}$•4•3=2，
解得a=$\frac{6±2\sqrt{6}}{3}$．

（3）由题意当MN=OC，且MN∥OC时，以M，N，C，O为顶点且以OC为边的四边形是平行四边形，
设N（m，-$\frac{3}{4}$m+3），则M（m，-$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{4}$m+3），由题意当MN=OC时，
则有|-$\frac{3}{4}$m+3-（-$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{4}$m+3）|=3，
解得m=2或2+2$\sqrt{2}$或2-2$\sqrt{2}$，
∴满足条件的点M的坐标为2或2+2$\sqrt{2}$或2-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、三角形的面积、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分割法求三角形的面积，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．