Question

13．如图，已知在△ABC中，∠ABC=30°，BC=8，sin∠A=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，BD是AC边上的中线．求：
（1）△ABC的面积；
（2）∠ABD的余切值．

Answer 1

分析 （1）过点C作CE⊥AB与点E，根据已知条件分别解△BCE、△ACE可得BE、CE、AE的长，即可计算S_△ABC；
（2）过点D作DH⊥AB与点H知DH∥CE，由D是AC中点可得HE=$\frac{1}{2}$AE、DH=$\frac{1}{2}$CE，即可得cot∠ABD．

解答 解：（1）如图，过点C作CE⊥AB与点E，

在RT△BCE中，∵BC=8，∠ABC=30°，
∴BE=BC•cos∠ABC=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
CE=BC•sin∠ABC=8×$\frac{1}{2}$=4，
在RT△ACE中，∵sin∠A=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
∴AC=$\frac{CE}{sin∠A}$=$\frac{4}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$=4$\sqrt{5}$，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=8，
则AB=AE+BE=8+4$\sqrt{3}$，
故S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•CE=$\frac{1}{2}$×（8+4$\sqrt{3}$）×4=16+8$\sqrt{3}$；
（2）过点D作DH⊥AB与点H，
∵CE⊥AB，
∴DH∥CE，
又∵D是AC中点，
∴AH=HE=$\frac{1}{2}$AE=4，DH=$\frac{1}{2}$CE=2，
∴在RT△BDH中，cot∠ABD=$\frac{BH}{DH}$=$\frac{4\sqrt{3}+4}{2}$=2$\sqrt{3}$+2．

点评 本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形中位线定理，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．