Question

5．如图，直线y=mx+4与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象交于点A、B，与x轴、y轴分别交于D、C，tan∠CDO=2，AC：CD=1：2．
（1）求反比例函数解析式；
（2）联结BO，求∠DBO的正切值；
（3）点M在直线x=-1上，点N在反比例函数图象上，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出C点坐标，再由tan∠CDO=2可得出D点坐标，进而可得出直线y=mx+4的解析式，根据AC：CD=1：2可得出A点坐标，进而得出反比例函数的解析式；
（2）过点O作OE⊥AB于点E，根据直角三角形的面积公式求出OE的长，再由△ODE∽△CDO得出DE的长，根据锐角三角函数的定义即可得出结论；
（3）设M（-1，y），N（x，$\frac{6}{x}$），再分AB、AN、AM为平行四边形的对角线即可得出结论．

解答 解：（1）∵直线y=mx+4与y轴交与点C，
∴C（0，4）．
∵tan∠CDO=2，
∴OD=2，即D（-2，0），
∴-2m+4=0，解得m=2，CD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴直线y=mx+4的解析式为y=2x+4．
设A（x，2x+4），
∵AC：CD=1：2，
∴AC=$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{{x}^{2}-（2x+4-4）^{2}}$=$\sqrt{5}$，解得x=±1，
∵点A在第一象限，
∴x=1，
∴A（1，6）．
∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=6，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{6}{x}$；

（2）过点O作OE⊥AB于点E，
∵OD=2，OC=4，CD=2$\sqrt{5}$，
∴OE=$\frac{OD•OC}{CD}$=$\frac{2×4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∵∠ODE=∠ODE，∠OED=∠COD，
∴△ODE∽△CDO，
∴$\frac{OD}{CD}$=$\frac{DE}{OD}$，即DE=$\frac{{OD}^{2}}{CD}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∵$\left\{\begin{array}{l}y=2x+4\\ y=\frac{6}{x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=6\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-2\end{array}\right.$，
∴B（-3，-2）．
∴BD=$\sqrt{（-3+2）^{2}+（-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴BE=BD+DE=$\sqrt{5}$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{7\sqrt{5}}{5}$，
∴tan∠DBO=$\frac{OE}{BE}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\frac{7\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{4}{7}$．

（3）设M（-1，y），N（x，$\frac{6}{x}$），
∵A（1，6），B（-3，-2），
∴当AB为平行四边形的对角线时，$\frac{-3+1}{2}$=$\frac{-1+x}{2}$，解得x=-1，
∴N（-1，-6）；
当AN为平行四边形的对角线时，x+1=-3-1，解得x=-5，
∴N（-5，-$\frac{6}{5}$）；
当AM为平行四边形的对角线时，0=x-3，解得x=3，
∴N（3，2）．
综上所述，N（-1，-6）或（-5，-$\frac{6}{5}$）或（3，2）．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、平行四边形的判定及锐角三角函数的定义等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．