Question

8．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC=3AD，点E是边DC的中点．设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，那么$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$（用$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$的式子表示）．

Answer 1

分析 首先连接AC，由在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC=3AD，可求得$\overrightarrow{BC}$，然后由三角形法则求得$\overrightarrow{AC}$，继而求得$\overrightarrow{DC}$，然后由点E是边DC的中点，求得$\overrightarrow{DE}$，继而求得答案．

解答 解：连接AC，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC=3AD，
∴$\overrightarrow{BC}$=3$\overrightarrow{AD}$=3$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AD}$=（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）-$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，
∵点E是边DC的中点，
∴$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{b}$+（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$．

点评 此题考查了平面向量的知以及梯形的性质．注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键．