Question

3．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=4，AB=8，BC=CD=10，M在边CD上，$\frac{DM}{MC}$=$\frac{2}{3}$，问：
（1）DM=4，MC=6．
（2）如图①，连结BM，求证BM⊥DC；
（3）如图②，作∠EMF=90°，ME交射线AB于点E，MF交射线BC于点F，当点F在线段BC上时，连接EF，问：当F点运动到什么位置时，△EBF的面积最大，并求出最大面积．

Answer 1

分析 （1）根据M在边CD上，$\frac{DM}{MC}$=$\frac{2}{3}$，得出DM=$\frac{2}{5}$CD，MC=$\frac{3}{5}$CD，再将CD=10代入计算即可求出DM，CM的长度；
（2）如图1，连结BD．根据等腰三角形的性质、平行线的性质得出∠ADB=∠CBD=∠CDB．再利用SAS证明△ADB≌△MDB，根据全等三角形对应角相等得出
∠A=∠BMD=90°，即BM⊥DC；
（3）如图2，根据同角的余角相等得出∠1=∠2，∠ABM=∠C，那么△CMF∽△BME，根据相似三角形对应边成比例得出$\frac{CF}{BE}$=$\frac{CM}{BM}$．设BF=x，列出关于x的方程，得出BE=$\frac{4}{3}$（10-x），根据S_△EBF=$\frac{1}{2}$BF•BE，得出S关于x的二次函数解析式，然后根据二次函数的性质即可求解．

解答 （1）解：∵CD=10，M在边CD上，$\frac{DM}{MC}$=$\frac{2}{3}$，
∴DM=$\frac{2}{5}$CD=$\frac{2}{5}$×10=4，MC=$\frac{3}{5}$CD=$\frac{3}{5}$×10=6．
故答案为4，6；

（2）证明：如图1，连结BD．
∵BC=CD=10，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADB=∠CDB．
在△ADB与△MDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=MD=4}\\{∠ADB=∠MDB}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△MDB（SAS），
∴∠A=∠BMD=90°，
∴BM⊥DC；

（3）解：如图2，由（2）得∠BMC=90°，
∴∠1+∠BMF=90°，∠C+∠3=90°．
∵∠EMF=90°，
∴∠2+∠BMF=90°，
∴∠1=∠2．
又∵∠ABC=∠A=90°，
∴∠3+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠C．
在△CMF与△BME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠EBM}\\{∠1=∠2}\end{array}\right.$，
∴△CMF∽△BME，
∴$\frac{CF}{BE}$=$\frac{CM}{BM}$．
在Rt△BCM中，BM=$\sqrt{B{C}^{2}-C{M}^{2}}$=8．
设BF=x，则CF=10-x，
∴$\frac{10-x}{BE}$=$\frac{6}{8}$，
∴BE=$\frac{4}{3}$（10-x），
∴S_△EBF=$\frac{1}{2}$BF•BE
=$\frac{1}{2}$x•$\frac{4}{3}$（10-x）
=$\frac{2}{3}$（-x²+10x）
=-$\frac{2}{3}$（x-5）²+$\frac{50}{3}$，
∵-$\frac{2}{3}$＜0，
∴当x=5时，S_△EBF最大，最大值为$\frac{50}{3}$．
故当BF=5时，△EBF的面积最大，最大值为$\frac{50}{3}$．

点评 本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，二次函数的性质等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合以及方程思想是解题的关键．