Question

3．如图，直线y=2x-a（a＜0）与y轴交于点A，与x轴交于点E，抛物线y=x²-2x+a的顶点为C，与y轴交于点B，直线BC与直线AE交于点D．

（1）求点B、C、D的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）抛物线上是否存在一点P，使得以P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出a的值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把x=0代入到y=x²-2x+a求点B的坐标，将二次函数的解析式配方可求C的坐标，求直线BC的解析式，再求直线BC和直线AE的交点D；
（2）存在，分两种情况：①以AB为对角线时，如图1，根据OD=OP确定P的坐标后代入抛物线的解析式中，求a的值，计算点P的坐标；
②以AB为边时，如图2，根据PD=AB列式得出结论．

解答 解：（1）当x=0时，y=a，
∴B（0，a），
y=x²-2x+a=（x-1）²+a-1，
∴顶点C（1，a-1），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（0，a）、C（1，a-1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=a}\\{k+b=a-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=a}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=-x+a，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+a}\\{y=2x-a}\end{array}\right.$     解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2a}{3}}\\{y=\frac{a}{3}}\end{array}\right.$，
∴D（$\frac{2a}{3}$，$\frac{a}{3}$）；

（2）存在一点P，使得以P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，
分两种情况：
①以AB为对角线时，如图1，
∵A（0，-a），B（0，a），
∴OA=OB，
∴O是?ADBP对角线的交点，
∴OD=OP，
∵D（$\frac{2a}{3}$，$\frac{a}{3}$），
∴P（-$\frac{2a}{3}$，-$\frac{a}{3}$），
∵P在抛物线上，
∴-$\frac{a}{3}$=$（-\frac{2a}{3}）^{2}$-2×$（-\frac{2a}{3}）$+a，
解得：a=-6，
当a=-6时，-$\frac{2a}{3}$=-$\frac{2×（-6）}{3}$=4，
-$\frac{a}{3}$=-$\frac{-6}{3}$=2，
∴P（4，2）；
②以AB为边时，如图2，
∵四边形ADBP是平行四边形，
∴AB=PD=-2a，AB∥PD，
∵AB⊥x轴，
∴PD⊥x轴，
∵D（$\frac{2a}{3}$，$\frac{a}{3}$），
∴P（$\frac{2a}{3}$，-$\frac{5a}{3}$），
∴-$\frac{5a}{3}$=$（\frac{2a}{3}）^{2}-2×\frac{2a}{3}$+a，
a=-3，
当a=-3时，$\frac{2a}{3}$=$\frac{2×（-3）}{3}$=-2，
-$\frac{5a}{3}$=-$\frac{5×（-6）}{3}$=10，
∴P（-2，10）；
综上所述，使得以P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，此时点P（4，2）或（-2，10），对应a的值分别为-6或-3．

点评 此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点，也是难点，同时对于第2问构成平行四边形时，要采用分类讨论的思想解决．