题目内容
18．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线W的解斩式为y=-$\frac{1}{2}$x2-x+4，抛物线W与x轴交于A，B两点（点B在A的右侧），与y轴交于点C，一次函数y=kx+b的图象经过点B并且与y轴交于点D（0，3），与抛物线的另一个交点为E．（1）求B、C两点的坐标及一次函数的解析式；
（2）若P为抛物线的对称轴上一动点，当△BCP的周长最小时，求点P的坐标；
（3）若点M是直线BE上一动点，过．M作MN∥y轴交抛物线于点N，判断是否存在点M，使以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）由抛物线解析式可求得A、B、C的坐标，再利用待定系数法可求得一次函数的解析式；
（2）由A、B关于对称轴对称，则连接AC与对称轴的交点即为所求的点P，利用待定系数法可求得直线AC的解析式，则可求得P点坐标；
（3）由MN∥CD可知MN为平行四边形的边，设M（x，-$\frac{1}{2}$x2-x+4），则可表示出N点坐标，从而可用t表示出MN，利用平行四边形的性质可得MN=CD，可得到关于x的方程，可求得M点的坐标．
解答 解：
（1）在y=-$\frac{1}{2}$x2-x+4中，令y=0可得0=-$\frac{1}{2}$x2-x+4，解得x=2或x=-4，
令x=0可得y=4，
∴A（-4，0），B（2，0），C（0，4），
∵一次函数y=kx+b的图象经过点B并且与y轴交于点D（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1.5}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=-1.5x+3；
（2）∵y=-$\frac{1}{2}$x2-x+4=-$\frac{1}{2}$（x+1）2+3.5，
∴抛物线对称轴为x=-1，
如图1，连接AC交对称轴于点P，
∵A、B关于对称轴对称，
∴PA=PB，
∵A、P、C三点在一条线上，
∴BP+PC最小，
∴此时△PCB的周长最小，
∵A（-4，0），C（0，4），
∴直线AC解析式为y=x+4，
当x=-1时，y=-1+4=3，
∴P（-1，3）；
（3）∵点M是直线BE上一动点，
∴可设M（x，-1.5x+3），
∵MN∥y轴交抛物线于点N，
∴N（x，-$\frac{1}{2}$x2-x+4），
∴MN=|-1.5x+3-（-$\frac{1}{2}$x2-x+4）|=|0.5x2-0.5x-1|
∵C（0，4），D（0，3），
∴CD=1，
∵MN∥CD，
∴当以点M，N，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，则有MN=CD，
∴|0.5x2-0.5x-1|=1，即0.5x2-0.5x-1=1或0.5x2-0.5x-1=-1，
当0.5x2-0.5x-1=1时，解得x=$\frac{1±\sqrt{17}}{2}$，此时M点的坐标为（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9+3\sqrt{17}}{4}$）或（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9-3\sqrt{17}}{4}$），
当0.5x2-0.5x-1=-1时，解得x=0（M与D重合，舍去）或x=1，此时M点坐标为（1，1.5），
综上可知存在满足条件的M点，坐标为（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9+3\sqrt{17}}{4}$）或（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{9-3\sqrt{17}}{4}$）或（1，1.5）．
点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称的应用、平行四这形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中注意函数图象与坐标轴交点的求法，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中利用平行四边形的性质得到关于M点坐标的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
浙江名校名师金卷系列答案| A． | $\frac{1}{9}$ | B． | $-\frac{1}{9}$ | C． | -6 | D． | -9 |
| A． | 相交 | B． | 外切 | C． | 外离 | D． | 内切 |
如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A与坐标原点O重合，B（4，0），D（0，3），点E从点A出发，沿射线AB移动，以CE为直径作⊙M，点F为⊙M与射线DB的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与⊙M相交于点G，连接CG．