Question

13．观察下列等式：
第一个等式：a₁=$\frac{3}{1×2×{2}^{2}}$=$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×{2}^{2}}$；
第二个等式：；$\frac{4}{2×3×{2}^{3}}$=$\frac{1}{2×{2}^{2}}$-$\frac{1}{3×{2}^{3}}$；
第三个等式：；a₃=$\frac{5}{3×4×{2}^{4}}$=$\frac{1}{3×{2}^{3}}$-$\frac{1}{4×{2}^{4}}$
第四个等式：
…
第n个等式：a_n=$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$；（用含n的式子表示）
则a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$；（用含n的代数式表示）

Answer 1

分析 根据已知三个等式可得第n个等式，再利用得出的规律裂项相消可得．

解答 解：由题意知a_n=$\frac{n+2}{n（n+1）•{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$，
a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×{2}^{2}}$+$\frac{1}{2×{2}^{2}}$-$\frac{1}{3×{2}^{3}}$+$\frac{1}{3×{2}^{3}}$-$\frac{1}{4×{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$，
故答案为：$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$，=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律，解决此类问题的关键是找出所求数字与序号的关系．