Question

9．如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于点E，EF⊥AB于F，EG⊥AG交AC的延长线于G．
（1）求证：BF=CG．
（2）求证：2AF=AB+AC．

Answer 1

分析 （1）连接BE、EC，只要证明△EFB≌△EGC即可．
（2）由△AEF≌△AEG，得AF=AG，由△EFB≌△EGC得BF=CG，根据线段和差定义即可解决．

解答 （1）证明：连接BE、EC．
∵BD=DC，DE⊥BC，
∴EB=EC，
∵EA平分∠BAC，EF⊥AB，EC⊥AC，
∴EF=EG，
在RT△EFB和RT△EGC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EG}\\{BE=EC}\end{array}\right.$，
∴△EFB≌△EGC，
∴BF=CG．
（2）证明：在RT△AEF和RT△AEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{EF=EG}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEG，
∴AF=AG，
∵△EFB≌△EGC，
∴BF=CG，
∴AB+AC=AF+BF+AG-CG=2AF．
即2AF=AB+AC．

点评 本题考查角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，需要熟练掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型．