Question

10．如图，已知抛物线y=ax²+$\frac{5}{2}$x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A与B坐标代入抛物线解析式求出a与c的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）存在，理由为：如图，设D横坐标为t，代入抛物线解析式表示出纵坐标，过D作y轴的平行线交AC于E，连接CD，AD，如图所示，利用待定系数法确定出直线AC解析式，表示出E坐标，进而表示出DE长，三角形DAC面积等于DE与OA积的一半，利用二次函数性质求出S的最大值，确定出此时D坐标即可．

解答 解：（1）把A（4，0），B（1，0）代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{0=16a+10+c}\\{a+\frac{5}{2}+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
则抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2；
（2）存在，理由如下：
设D的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2，
过D作y轴的平行线交AC于E，连接CD，AD，如图所示，
由题意可求得直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
∴E点的坐标为（t，$\frac{1}{2}$t-2），
∴DE=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2-（$\frac{1}{2}$t-2）=-$\frac{1}{2}$t²+2t，
∴△DAC的面积S=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4，
当t=2时，S_最大=4，
∴此时D（2，1），△DAC面积的最大值为4．

点评 此题考查了待定系数法确定二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．