Question

1．如图，在△ABC中，按如下步骤作图：
①以点A为圆心，AB长为半径画弧；
②以点C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；
③连接BD，与AC交于点E，连接AD、CD；
（1）求证：∠BAE=∠DAE；
（2）当AB=BC时，猜想四边形ABCD是什么四边形，并证明你的结论；
（3）当AC=8cm，BD=6cm，现将四边形ABCD通过割补，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？

Answer 1

分析 （1）由SSS证明△ABC≌△ADC，得出对应角相等即可；
（2）证出AB=BC=DC=AD，即可得出结论；
（3）由等腰三角形的性质得出AC⊥BD，求出四边形ABCD的面积，即可得出拼成的正方形的边长．

解答 （1）证明：在△ABC和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{BC=DC}&{\;}\\{AC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAE=∠DAE；
（2）解：四边形ABCD是菱形，理由如下：
∵AB=AD，BC=DC，AB=BC，
∴AB=BC=DC=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）解：∵AB=AD，∠BAE=∠DAE，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=8×6=24（cm²），
∴拼成的正方形的边长=$\sqrt{24}$=2$\sqrt{6}$（cm）．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．