如图.正方形ABCD的边长为2.对角线AC与BC相交于O.E为AB的中点.F为DE的中点.G为CF的中点.OH⊥DE于H.过A作AI⊥DE于I.交BD于J.交BC于K.连接BI.下列结论:①G到AC的距离等于$\frac{\sqrt{2}}{8}$,②OH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,③BK=$\frac{1}{2}$AK,④∠BIJ=45°．其中正确的结论是( )A．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．

如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC与BC相交于O，E为AB的中点，F为DE的中点，G为CF的中点，OH⊥DE于H，过A作AI⊥DE于I，交BD于J，交BC于K，连接BI，下列结论：①G到AC的距离等于$\frac{\sqrt{2}}{8}$；②OH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；③BK=$\frac{1}{2}$AK；④∠BIJ=45°．其中正确的结论是（　　）

A．

①②③

B．

①②④

C．

①③④

D．

①②③④

分析如图，延长CF交BA的延长线于M，作BN⊥DE于N，BT⊥AK于T作GR⊥AC于R，BD交OD于W，根据全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识一一判断即可．

解答解：如图，延长CF交BA的延长线于M，作BN⊥DE于N，BT⊥AK于T，作GR⊥AC于R，BD交OD于W．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=2，AB∥CD，
∵DF=EF
∴易证△DFC≌△EFM，
∴CD=EM=2，BM=3，CM=$\sqrt{B{C}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{13}$
∵CD∥MB，
∴$\frac{CD}{BM}$=$\frac{CG}{GM}$=$\frac{2}{3}$，
∴CW=$\frac{2}{5}$CM=$\frac{2\sqrt{13}}{5}$，∵OC=$\sqrt{2}$，
∴OW=$\sqrt{C{M}^{2}-C{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{5}$，
由$\frac{CG}{CW}$=$\frac{GR}{OW}$，可得GR=$\frac{\frac{\sqrt{13}}{4}•\frac{\sqrt{2}}{5}}{\frac{2\sqrt{13}}{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{8}$，故①正确
∵AD=AB，∠DAE=∠ABK，∠ADE=∠BAK，
∴△ADE≌△BAK，
∴BK=AE，BK=$\frac{1}{2}$AB≠$\frac{1}{2}$AK，故③错误，
易证四边形BNIT是正方形，
∴∠BIJ=45°，故④正确，
∵△AEI≌△BEB，
∴BN=AI=$\frac{AD•AE}{DE}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵OH∥BN，DO=OB，
∴DH=HN，
∴OH=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，故②正确，
∴①②④正确，
故选B．

点评本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形，灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

练习册系列答案

	A．	甲、乙两地的距离为420km		B．	y₁=60x，y₂=$\left\{\begin{array}{l}{90x}\\{100x-230}\end{array}\right.$
	C．	货车出发4.5h与小轿车首次相遇		D．	两车首次相遇时距乙地150km

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