Question

17．如图，A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西45°方向．C地在A地北偏东75°方向．且BD=BC=30m．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求A、D两地的距离．

Answer 1

分析 （1）求出∠DCA的度数，再判断出BC=CD，据此即可判断出△BCD是等边三角形．
（2）过点B作BE垂直于AD，垂足为E，求出∠DAC的度数，判断出△BCD是等边三角形，再利用三角函数求出AB的长，从而得到AB+BC+CD的长．

解答 解：（1）由题意可知∠DCA=180°-75°-45°=60°，
∵BC=CD，
∴△BCD是等边三角形
∴∠BDC=∠DBC=60°，
∵∠DAB=75°-30°=45°，
∵∠DBC=∠ADB+∠DAB，
∴∠ADB=15°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=15°+60°=75°．

（2）解：过点B作BE垂直于AD，垂足为E，
由题意可知∠DAC=75°-30°=45°，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠DBC=60° BD=BC=CD=30m，
∴∠ADB=∠DBC-∠DAC=15°，
∴BE=BD•sin15°≈0.26×30≈7.8m，DE=BD•cos15°≈0.97×30≈29.1m，
∵∠EAB=∠EBA=45°，
∴AE=EB=7.8m，
∴AD=AE+DE=7.8+29.1≈37m．

点评 本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．