Question

5．如图1，四边形ABCD是边长为3$\sqrt{2}$的正方形，长方形AEFG的宽AE=$\frac{7}{2}$，长EF=$\frac{7}{2}$$\sqrt{3}$．将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH（如图2），这时BD于MN相交于点O．
（1）求∠DOM的度数；
（2）在图②中，求点D，N之间的距离．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质，可得∠BAM=15°，即可得∠OKB=∠AOM=75°，又由正方形的性质，可得∠ABD=45°，然后利用外角的性质，即可求得∠DOM的度数；
（2）首先连接AM，交BD于I，连接AN，由特殊角的三角函数值，求得∠HAN=30°，又由旋转的性质，即可求得∠DAN=45°，即可证得A，C，N共线，然后由股定理求得答案．

解答 解：（1）根据题意得：∠BAM=15°，
∵四边形AMNH是矩形，
∴∠M=90°，
∴∠AKM=90°-∠BAM=75°，
∴∠BKO=∠AKM=75°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∴∠DOM=∠BKO+∠ABD=75°+45°=120°；

（2）连接AN，交BD于I，连接DN，
∵NH=3.5，AH=$\frac{7}{2}\sqrt{3}$，∠H=90°，
∴tan∠HAN=$\frac{NH}{AH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠HAN=30°，
∴AN=2NH=7，
由旋转的性质：∠DAH=15°，
∴∠DAN=45°，
∵∠DAC=45°，
∴A，C，N共线，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵AD=CD=3$\sqrt{3}$，
∴DI=AI=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{A{B}^{2}+C{D}^{2}}$=3，
∴NI=AN-AI=7-3=4，
在Rt△DIN中，DN=$\sqrt{D{I}^{2}+N{I}^{2}}$=5．

点评 此题考查了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质、勾股定理以及特殊角的三角函数问题．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意准确作出辅助线是解此题的关键．