Question

14．已知直线y=-$\frac{2}{3}$x+6与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于点A、B，把直线OA向右平移恰好经过点B，并与x轴交于点C，且OA：BC=2：1
（1）求k的值；
（2）连接AC，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）欲求k，可由平移的坐标特点，点A的坐标为（a，2a），根据三角形中位线性质求出D的坐标，根据平移的性质求出B的坐标，把A、B的坐标代入双曲线的解析式即可求得k的值；
（2）由已知条件$\frac{AO}{BC}$=2，AO∥BC，得到$\frac{BE}{AE}$=$\frac{CE}{OE}$=$\frac{1}{2}$，即可得到S_△ABC=$\frac{1}{2}$S_△ACE=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{9}{2}$×6=$\frac{9}{4}$．

解答 解：（1）在y=-$\frac{2}{3}$x+6中，令y=0，则x=9，设点A的坐标为（a，2a），
∵$\frac{AO}{BC}$=2，AO∥BC，
∴C（$\frac{9}{2}$，0），
取OA的中点D，
∴点B相当于点D向右平移了$\frac{9}{2}$个单位，
∵点D的坐标为（$\frac{1}{2}$a，a），
∴B点坐标为（$\frac{9}{2}$+$\frac{1}{2}$a，a），
∵点A，B都在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴a×2a=（$\frac{9}{2}$+$\frac{1}{2}$a）×a
解得a=0（0不合题意，舍去），a=3，
∴点A的坐标为（3，6），
∴k=18；

（2）∵$\frac{AO}{BC}$=2，AO∥BC，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{CE}{OE}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$S_△ACE=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{9}{2}$×6=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，三角形的中位线的性质，求三角形的面积，平移的性质，正确理解题意，弄清数量关系是解题的关键．