Question

10．观察下表中各式子，并回答下面的问题．

第1个	第2个	第3个	第4个	…
$\sqrt{{1}^{2}-1}$	$\sqrt{{2}^{2}-2}$	$\sqrt{{3}^{2}-3}$	$\sqrt{{4}^{2}-4}$	…

（1）试写出第n个式子（用含n的代数式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？
（2）你估计第16个式子的值应在哪两个连续整数之间？试说明理由．

Answer 1

分析 （1）依据规律可写出第n个式子，然后判断出被开方数的正负情况，从而可做出判断；
（2）将n=16代入，可知第16个二次根式为$\sqrt{16×15}$，从而可做出判断．

解答 解：（1）第n个式子=$\sqrt{{n}^{2}-n}$，
n²-n=n（n-1），
∵n≥1，
∴n（n-1）≥0．
∴$\sqrt{{n}^{2}-n}$一定是二次根式．
（2）第16个式子=$\sqrt{1{6}^{2}-16}$=$\sqrt{16×15}$．
∵15×15＜15×16＜16×16，
∴$\sqrt{1{5}^{2}}＜\sqrt{16×15}＜\sqrt{1{6}^{2}}$，即15＜$\sqrt{16×15}$＜16．

点评 本题主要考查的是二次根式的定义、估算无理数的大小，明确被开方数越大，对应的算术平方根也越大是解题的关键．