Question

19．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，sin∠ABO=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，OB=2，OE=1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF，如果S_△BAF=4S_△DFO，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函数图象即可得出点C的坐标，再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；
（2）由点D在反比例函数在第四象限的图象上，设出点D的坐标为（n，-$\frac{3}{2n}$）（n＞0）．通过解直角三角形求出线段OA的长度，再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S_△BAF，根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S_△DFO的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点D的坐标．

解答 解：（1）∵OB=2，OE=1，
∴BE=OB+OE=3．
∵CE⊥x轴，
∴∠CEB=90°．
在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=3，sin∠ABO=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，
∴CE=BE•tan∠ABO=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
结合函数图象可知点C的坐标为（-1，$\frac{3}{2}$）．
∵点C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=-1×$\frac{3}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{3}{2x}$．
（2）∵点D在反比例函数y=-$\frac{3}{2}$x第四象限的图象上，
∴设点D的坐标为（n，-$\frac{3}{2n}$）（n＞0）．
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，
∴OA=OB•tan∠ABO=2×$\frac{1}{2}$=1．
∵S_△BAF=$\frac{1}{2}$AF•OB=$\frac{1}{2}$（OA+OF）•OB=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{3}{2n}$）×2=1+$\frac{3}{2n}$．
∵点D在反比例函数y=-$\frac{3}{2n}$第四象限的图象上，
∴S_△DFO=$\frac{1}{2}$×|-$\frac{3}{2}$|=$\frac{3}{4}$．
∵S_△BAF=4S_△DFO，
∴1+$\frac{3}{2n}$=4×$\frac{3}{2}$，
解得：n=$\frac{3}{10}$，
经验证，n=$\frac{3}{10}$是分式方程的解，∴点D的坐标为（$\frac{3}{10}$，-2）．

点评 本题考查了解直角三角形、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是：（1）求出点C的坐标；（2）根据三角形的面积间的关系找出关于n的分式方程．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，找出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数系数是关键．