(1)如图1.在平面直角坐标系中.直线y=2x-6与x轴.y轴分别相交于点A.B.点C在x轴上.若S△ABC=2S△AOB.试求点C的坐标,(2)如图2.在直角坐标系中.矩形OABC的顶点B的坐标为.直线y=kx-2恰好将矩形OABC分为面积相等的两部分.试求k的值,(3)如图3.直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1与x轴.y轴分别相交于点A.B.以线段AB为直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=2x-6与x轴、y轴分别相交于点A、B，点C在x轴上，若S_△ABC=2S_△AOB，试求点C的坐标；
（2）如图2，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线y=kx-2恰好将矩形OABC分为面积相等的两部分，试求k的值；
（3）如图3，直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，如果在第二象限内有一点P（a，$\frac{1}{2}$），且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求a的值

分析（1）先求出A、B的坐标，得出OA=3，OB=6，由S_△ABC=2S_△AOB，得出AC=2OA=6；①当点C在点A的右边时，得出OC，即可得出点C坐标；
②当点C在点A的左边时，求出OC，即可得出点C坐标；
（2）由直线解析式得出E（$\frac{2}{k}$，0），D（$\frac{8}{k}$，0），由题意得出梯形OEDC的面积=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{k}+\frac{8}{k}$）×6=$\frac{1}{2}$×15×6，即可求出k；
（3）过点P作AB的平行线，交CA的延长线于D，交x轴于M，作PE⊥AB于E，先证出四边形ADPE是矩形，得出AD=PE，求出A、B的坐标，得出OA、OB，由勾股定理求出AB，求出△ABC的面积，由△ABP的面积与△ABC的面积相等，求出PE，得出AD、AM、OM，求出M的坐标，再求出直线PD的解析式，把点P（a，$\frac{1}{2}$）代入，即可求出a值．

解答解：（1）∵y=2x-6，当y=0时，x=3；当x=0时，y=-6；
∴A（3，0），B（0，-6），
∴OA=3，OB=6，
∵S_△ABC=2S_△AOB，
∴$\frac{1}{2}$AC•OB=2×$\frac{1}{2}$×OA•OB，
∴AC=2OA=6；
①当点C在点A的右边时，OC=3+6=9，
∴C（9，0）；
②当点C在点A的左边时，OC=6-3=3，
∴C（-3，0）；
综上所述：点C的坐标为：（9，0），或（-3，0）；
（2）∵y=kx-2，当y=0时，x=$\frac{2}{k}$；当y=6时，x=$\frac{8}{k}$；
∴E（$\frac{2}{k}$，0），D（$\frac{8}{k}$，0），
∵直线y=kx-2恰好将矩形OABC分为面积相等的两部分，
∴梯形OEDC的面积=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{k}+\frac{8}{k}$）×6=$\frac{1}{2}$×15×6，
解得：k=$\frac{2}{3}$；
（3）过点P作AB的平行线，交CA的延长线于D，交x轴于M，作PE⊥AB于E，如图所示：
则∠AMD=∠BAO，PE∥AD，
∴四边形ADPE是矩形，
∴AD=PE，
∵直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，当y=0时，x=$\sqrt{3}$，当x=0时，y=1，
∴A（$\sqrt{3}$，0），B（0，1），
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=1，
∴AB=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2，∠BAO=30°，
∴∠AMD=30°，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴AC=AB=2，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，
∴△ABP的面积=$\frac{1}{2}$AB•PE=$\frac{1}{2}$×2×PE=2，
∴PE=2，
∴AD=2，∴AM=2AD=4，
∴OM=4-$\sqrt{3}$，
∴M（$\sqrt{3}$-4，0），
设直线PD的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
把点M（$\sqrt{3}$-4，0）代入得：b=1-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴直线PD的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
把点P（a，$\frac{1}{2}$）代入得：a=-4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．