Question

10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，-2），tan∠BOC=$\frac{1}{2}$．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．
（2）求△BOC的面积．
（3）P是x轴上的点，且△PAC的面积与△BOC的面积相等，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）过B作x轴的垂线，垂足为D，求出BD=2，根据tan∠BOC=$\frac{1}{2}$求出OD=4，得出B的坐标，把B的坐标代入y=$\frac{k}{x}$即可求出反比例函数的解析式，求出A的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，即可求出解析式；
（2）求出CO=2，根据三角形面积公式求出即可；
（3）设P点的坐标为P（a，0）根据S_△PAC=S_△BOC得出$\frac{1}{2}$PC×4=2，求出PC即可．

解答 解：（1）过B作x轴的垂线，垂足为D，
∵B的坐标为（n，-2），
∴BD=2，
∵tan∠BOC=$\frac{1}{2}$，
∴OD=4，
∴B的坐标为（-4，-2）
把B（-4，-2）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=8，
∴反比例函数为y=$\frac{8}{x}$，
把A（2，m）代入y=$\frac{8}{x}$得：m=4，
∴A（2，4），
把A（2，4）和B（-4，-2）代入y=ax+b得：$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=4}\\{-4a+b=-2}\end{array}\right.$
解得：a=1，b=2，
∴一次函数的解析式为：y=x+2；

（2）在y=x+2中，令y=0，得x=-2，
∴CO=2，
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$CO•BD=$\frac{1}{2}$×2×2=2；

（3）设P点的坐标为P（a，0）
则由S_△PAC=S_△BOC得：$\frac{1}{2}$PC×4=2，
∴PC=1，
即||a+2|=1，
解得：a=-3或a=-1，
即P的坐标为（-3，0）或（-1，0）．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，函数的图象的应用，解此题的关键是能综合运用知识点进行计算，数形结合思想的应用，难度适中．