Question

4．反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）过A（3，4），点B与点A关于直线y=2对称，抛物线y=-x²+bx+c过点B和C（0，3）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求抛物线的表达式；
（3）若抛物线y=-x²+bx+m在-2≤x＜2的部分与y=$\frac{k}{x}$无公共点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将点（3，4）代入反比例函数的解析式即可求出k的值．
（2）求出点B的坐标，然后将B与C的坐标代入即可求出抛物线的解析式即可求出b与c的值．
（3）令x=2和-2代入反比例函数中求出相应的点坐标，然后将两点的坐标代入y=-x²+2x+m中求出m的值

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$过A（3，4），
∴k=12，
∴y=$\frac{12}{x}$
（2）∵点B与点A关于直线y=2对称，
∴B（3，0）．
∵抛物线y=-x²+bx+c过点B和C（0，3）
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$
∴y=-x²+2x+3
（3）反比例函数的解析式：y=$\frac{12}{x}$
令x=-2时，y=-6，即（-2，-6）
令x=2时，y=6，即（2，6）
当y=-x²+2x+m过点（-2，-6）时，m=2
当当y=-x²+2x+m过点（2，6）时，m=6
∴y=-x²+2x+m在-2≤x＜2的部分与y=$\frac{12}{x}$无公共点时，此时m的范围：2＜m≤6，

点评 本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是求出相关点的坐标，然后利用待定系数法求出系数的值，本题属于中等题型．