Question

16．如图，在△ABC中，D在AC边上，DF⊥BC于F，∠E+∠A=∠C，AB=DE．若CF=$\sqrt{5}$，则BE=2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 以DE为边作∠EDG=∠A，以BA为边作∠ABH=∠E，结合AB=DE证△ABH≌△DEG得BH=EG，由∠DGC=∠E+∠EDG、∠BHC=∠A+∠ABH结合∠E+∠A=∠C可得BH=BC、DG=DC，从而根据BH=BC即BE+BG=BG+GC得BE=GC=2$\sqrt{5}$．

解答 解：如图，以DE为边作∠EDG=∠A，以BA为边作∠ABH=∠E，

在△ABH和△DEG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠EDG}\\{AB=DE}\\{∠ABH=∠E}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△DEG（ASA），
∴BH=EG，
∵∠DGC=∠E+∠EDG，∠BHC=∠A+∠ABH，
∴∠DGC=∠E+∠A，∠BHC=∠A+∠E，
又∵∠E+∠A=∠C，
∴∠DGC=∠BHC=∠C，
∴BH=BC、DG=DC，
∵DF⊥BC，且CF=$\sqrt{5}$，
∴GC=2CF=2$\sqrt{5}$，
∵BH=BC，即BE+BG=BG+GC，
∴BE=GC=2$\sqrt{5}$，
故答案为：2$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质，根据AB=DE构建全等的三角形是解题的关键．