Question

15．如图，在△ABC中，∠B的平分线与∠BAC的外角平分线相交于点E．
（1）若∠C=78°，求∠E的度数；
（2）若∠C=α，请直接写出∠E的度数．（用含α的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质得到∠1=$\frac{1}{2}$∠FAC，∠2=$\frac{1}{2}∠$ABC，根据外角的性质得到∠1=∠2+∠E，∠FAC=∠ABC+∠C，根据等量代换即可得到结论；
（2）由（1）证得：∠E=$\frac{1}{2}$∠C，结论可得．

解答 解：（1）∵AE平分∠CAF，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠FAC，∠1=∠2+∠E，
∵BE平分∠ABC，
∴∠2=$\frac{1}{2}∠$ABC，
∵∠1=∠2+∠E，∠FAC=∠ABC+∠C，
∴$\frac{1}{2}$∠FAC=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠E，
∴$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠C）=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠E，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠C=$\frac{1}{2}×$78°，

（2）由（1）证得：∠E=$\frac{1}{2}$∠C，
∵∠C=α，
∴∠E=$\frac{1}{2}α$．

点评 本题考查的三角形的外角的性质，关键是掌握三角形的外角等于不相邻两个内角的和，利用∠ACE是△ABC的外角和∠DCE是△BCD的外角的性质便可求得∠A=2∠D．