Question

20．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，F是DA的中点，连接BE，与CF相交于P，求证：AP=AB．

Answer 1

分析 延长CF、BA交于点M，先证△BCE≌△CDF，再证△CDF≌△AMF得BA=MA由直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，可得Rt△MBP中AP=$\frac{1}{2}$BM，即AP=AB．

解答 证明：延长CF、BA交于点M，

∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，
在△BCE与△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCE=∠CDF}\\{CE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE=∠DCF．
∵∠DCF+∠BCP=90°，
∴∠CBE+∠BCP=90°，
∴∠BPM=∠CBE+∠BCP=90°．
在△CDF与△AMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{FD=FA}\\{∠CDF=∠MAF}\\{∠CFD=∠MFA}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△AMF（AAS），
∴CD=AM，
∵CD=AB，
∴AB=AM，
∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线，
∴AP=$\frac{1}{2}$BM，
即AP=AB．

点评 本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，直角三角形斜边中线长为斜边长一半的性质，本题中求证△CDF≌△AMF是解题的关键．