Question

10．已知，如图，在四边形ABCD中，AC=BD，且相交于点O，E，F为AB，CD的中点，EF分别交AC，BD于点G，H，求证：OG=OH．

Answer 1

分析 取BC边的中点M，连接EM，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得∠MEF=∠MFE，然后根据平行线的性质证得∠OGH=∠OHG，根据等角对等边即可证得．

解答 解：取BC边的中点M，连接EM，FM，

∵M、F分别是BC、CD的中点，
∴MF∥BD，MF=$\frac{1}{2}$BD，
同理：ME∥AC，ME=$\frac{1}{2}$AC，
∵AC=BD，
∴ME=MF，
∴∠MEF=∠MFE，
∵MF∥BD，
∴∠MFE=∠OGH，
同理∠MEF=∠OHG，
∴∠OGH=∠OHG，
∴OG=OH．

点评 本题考查了三角形的中位线定理，正确证明△EMF是等腰三角形是关键．