Question

3．关于x的方程x²-mx-m-1=0①有两个实根x₁和x₂，关于y的方程y²-2（n-1）y+n²-2n=0②有两个实根y₁和y₂，且-2≤y₁＜y₂≤4，当x₁+x₂+2（2y₁-y₂）+14=0时，求m的取值范围．

Answer 1

分析 由于两个方程都有根，可以利用它们的判别式△求出m，n的取值范围．再由根与系数的关系和已知条件得出m，n的关系式．

解答 解：∵方程x²-mx-m-1=0有两个实数根，则△=m²+4m+4=（m+2）²≥0，
∴m取任意实数 ①，
∵方程y²-2（n-1）y+n²-2n=0有两个实数根，则△=4（n-1）²-4（n²-2n）=4＞0，
分解因式得，（y-n+2）（y-n）=0，
∴y₁=n-2，y₂=n，
∵-2≤y₁＜y₂≤4，
∴-2≤n-2＜n≤4，
解得，0≤n≤4，
∵x₁+x₂=m，x₁x₂=-m-1，
∴x₁+x₂+2（2y₁-y₂）+14=m+2（2y₁-y₂）+14=0变形为m+2[2（n-2）-n]+14=0，
化简得，m=-2n-6．
当0≤n≤4时，-14≤m≤-6，②
由①②得：-14≤m≤-6．

点评 本题利用了一元二次方程的根与系数的关系和根的判别式及用图象来解题，正确确定m、n的范围是解决本题的关键．