Question

如图，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是DC延长线上任意一点，CE=CF，∠ECF=90°，AE，BF相交于点G，AC，BF相交于点H．
（1）求证：AE=BF．
（2）判断AE与BF的位置关系，并证明．
（3）若BC=

2

，CE=

3

4

，求BF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据同角的余角相等求出∠BCF=∠ACE，然后利用“边角边”证明△ACE和△BCF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠EAC=∠FBC，再求出∠AGH=90°，然后根据垂直的定义解答；
（3）利用勾股定理列式求出AB，再根据等腰直角三角形的性质求出CD=AD，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：（1）证明：∵∠BCF=90°+∠ACF，∠ACE=90°+∠ACF，
∴∠BCF=∠ACE，
在△ACE和△BCF中，

CE=CF ∠BCF=∠ACE AC=BC

，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF；

（2）解：AE⊥BF．
∵△ACE≌△BCF，
∴∠EAC=∠FBC，
∵∠AHG=∠CHB，∠ACB=90°，
∴∠AGH=∠BCH=90°，
∴AE⊥BF；

（3）解：∵∠ACB=90°，BC=

2

，
∴AB=

( 2 )2+( 2 )2

=2，
∵点D是AB的中点，
∴CD=AD=

1

2

AB=

1

2

×2=1，∠ADE=90°，
∴BF=AE=

AD2+DE2

=

12+(1+ 3 4 )2

=

65

4

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于求出∠BCF=∠ACE．