题目内容
在平面直角坐标系中，现将一块含30°的直角三角板ABC放在第二象限，30°角所对的直角边AC斜靠在两坐标轴上，且点A（0，3），点C（-| 3 |
| 3 |
（1）写出点B的坐标与抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的含30°角的直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；
（3）设过点B的直线与交x轴的负半轴于点D，交y轴的正半轴于点E，求△DOE面积的最小值．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；
（2）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．
（3）求S的表达式，首先要求出三角形的点和高，由已知条件求出三角形顶点坐标，从而求三角形的底和高，再根据函数的性质求出最值．
（2）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．
（3）求S的表达式，首先要求出三角形的点和高，由已知条件求出三角形顶点坐标，从而求三角形的底和高，再根据函数的性质求出最值．
解答：
解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵点A（0，3），点C（-
，0），
∴OA=3，OC=
，
在直角三角形AOC中，AC=2
，
∵在直角三角形ABC中，∠ABC=30°，
∴BC=tan60°×AC=
×2
=6，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠BDC=∠COA=90°，
∴△BCD∽△CAO，
∴
=
，
∴BD=
×
=3，
∴AB∥x轴
在直角三角形BDC中，根据勾股定理求得：
DC=3
，
∴OD=OC+DC=
+3
=4
，
∴点B的坐标为（-4
，3）；
把点B的坐标为（-4
，3）代入y=ax2+3
ax-3a（a≠0）
解得：a=
，
∴抛物线的解析式为：y=
x2+
x-1．
设直线BC的解析式为：y=kx+b，把B（-4
，3），C（-
，0）代入得；
k=-
，b=-1，
∴直线BC的解析式为y=-
x-1，
（2）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的含30°角的直角三角形：
①若以点C为直角顶点；
则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到直角三角形△ACP1，
过点P1作P1M⊥x轴，
∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，
∴△MP1C≌△DBC．
∴CM=CD=3
，P1M=BD=3，可求得点P1（2
，-3）；
②若以点A为直角顶点；
则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=BC，得到直角三角形△ACP2，
过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CBD，
∴NP2=DC=3
，AN=BD=3，可求得点P2（3
，0），
③延长BC交y轴于P3构成Rt△ACP3，
∵AB∥x轴，
∴∠CAP3=30°，
∴Rt△ACP3是含有30°角的直角三角形，
∴与y轴的交点为P3（0，-1）
经检验，点P1（2
，-3）与点P2（3
，0）都不在抛物线y=
x2+
x-1上，P3在抛物线y=
x2+
x-1上
∴在抛物线上存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的含30°角的直角三角形．
（3）设E点的坐标为（0，b），
∴直线DE的解析式为y=kx+b，
∵B点的坐标（-4
，3），代入得3=-4
k+b，
∴k=
，
∴直线DE的解析式为y=
x+b，
∴D点的坐标为（-
，0）
∴S△DOE=
OD×OE=
×
×b=
=2
×
=2
×
=2
[（b-3）+
]+12
∴当b-3=
时，即b=6，S△DOE有最小值，
∴△DOE面积的最小值为24
．
解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵点A（0，3），点C（-
| 3 |
∴OA=3，OC=
| 3 |
在直角三角形AOC中，AC=2
| 3 |
∵在直角三角形ABC中，∠ABC=30°，
∴BC=tan60°×AC=
| 3 |
| 3 |
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠BDC=∠COA=90°，
∴△BCD∽△CAO，
∴
| BD |
| OC |
| BC |
| AC |
∴BD=
| 6 | ||
2
|
| 3 |
∴AB∥x轴
在直角三角形BDC中，根据勾股定理求得：
DC=3
| 3 |
∴OD=OC+DC=
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴点B的坐标为（-4
| 3 |
把点B的坐标为（-4
| 3 |
| 3 |
解得：a=
| 1 |
| 3 |
∴抛物线的解析式为：y=
| 1 |
| 3 |
| 3 |
设直线BC的解析式为：y=kx+b，把B（-4
| 3 |
| 3 |
k=-
| ||
| 3 |
∴直线BC的解析式为y=-
| ||
| 3 |
（2）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的含30°角的直角三角形：
①若以点C为直角顶点；
则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到直角三角形△ACP1，
过点P1作P1M⊥x轴，
∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，
∴△MP1C≌△DBC．
∴CM=CD=3
| 3 |
| 3 |
②若以点A为直角顶点；
则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=BC，得到直角三角形△ACP2，
过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CBD，
∴NP2=DC=3
| 3 |
| 3 |
③延长BC交y轴于P3构成Rt△ACP3，
∵AB∥x轴，
∴∠CAP3=30°，
∴Rt△ACP3是含有30°角的直角三角形，
∴与y轴的交点为P3（0，-1）
经检验，点P1（2
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
∴在抛物线上存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的含30°角的直角三角形．
（3）设E点的坐标为（0，b），
∴直线DE的解析式为y=kx+b，
∵B点的坐标（-4
| 3 |
| 3 |
∴k=
| b-3 | ||
4
|
∴直线DE的解析式为y=
| b-3 | ||
4
|
∴D点的坐标为（-
4
| ||
| b-3 |
∴S△DOE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
4
| ||
| b-3 |
2
| ||
| b-3 |
| 3 |
| b2 |
| b-3 |
| 3 |
| (b-3)2+6(b-3)+9 |
| b-3 |
| 3 |
| 9 |
| b-3 |
| 3 |
∴当b-3=
| 9 |
| b-3 |
∴△DOE面积的最小值为24
| 3 |
点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
练习册系列答案
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