Question

已知：在△ABC中，∠ABC=∠ACB=α，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转α与过点A且平行于BC边的直线交于点E．
（1）如图1，当α=60°时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系；

 

；
（2）如图2，当α=45°时，判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；
（3）如图3，当α为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系：

 

．（用含α的式子表示，其中0°＜α＜90°）

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）当α=60°时，△ABC、△DCE是等边三角形，连接EC，EC=DC，AC=BC，∠B+∠BAE=180°，∠B=60°，∠B=AC60⁰，∠CAE=60°，可得：△BDC≌△CAE，答案可证．
（2）过点D作DF∥AC，交BC于F，可证得△DFB是等腰直角三角形，BD=DF=

2

2

BF，再证明△ADE∽△FCD，得：

AE

DF

=

AD

CF

．由DF∥AC，得：

BD

BF

=

AD

CF

．可得到

AE

BD

=

BD

BF

=

2

2

，继而得到答案．
（3）由连结EC，可利用四点共圆证角相等，然后证△BDC∽△AEC相似可以确定BD=2cosα•AE．

解答：解：（1）BD=AE；
（2）BD=

2

AE；理由如下：
过点D作DF∥AC，交BC于F．
∵DF∥AC，
∴∠ABC=∠DFB．
∵∠ABC=∠ACB=α，α=45°，
∴∠ABC=∠ACB=∠DFB=45°．
∴△DFB是等腰直角三角形
∴BD=DF=

2

2

BF．
∵AE∥BC，
∴∠ABC+∠BAE=180°．
∵∠DFB+∠DFC=180°
∴∠BAE=∠DFC．
∵∠ABC+∠BCD=∠ADC，∠ABC=∠CDE=α，
∴∠ADE=∠BCD．
∴△ADE∽△FCD．
∴

AE

DF

=

AD

CF

．
∵DF∥AC，
∴

BD

BF

=

AD

CF

．
∴

AE

BD

=

BD

BF

=

2

2

．
∴BD=

2

AE．
（3）补全图形如图，连接EC，由AE∥BC，∠EAC=∠ACB=α，
∴A、D、C、E四点共圆，
∴∠ADE=∠BCD=∠ACE，∠ABC=∠ACB=α，
∴△BDC∽△ACE，
∴

BD

AE

=

BC

AC

，
又∵

BC

AC

=2cosα，
∴BD=2cosα•AE．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质以及三角形相似的判定与性质的综合应用，在解答本题时要注意类比思想的应用，正确绘图也是解题的关键．