Question

11．如图，抛物线y=-x²+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）如果点C关于抛物线y=-x²+bx+c对称轴的对称点为E点，连接BC，BE，求tan∠CBE的值；
（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DAM和△BCE相似，求点M坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求抛物线，然后把解析式配成顶点式，从而得到D的坐标；
（2）先利用抛物线的对称性得到E（2，3），作EH⊥BC于H，如图1，易得△OBC为等腰直角三角形得到∠OCB=45°，BC=$\sqrt{2}$OB=3$\sqrt{2}$，接着判断△CHE为等腰直角三角形得到CH=EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE=$\sqrt{2}$，所以BH=2$\sqrt{2}$，然后利用正切的定义求解；
（3）直线x=-1交x轴于F，如图2，解方程-x²+2x+3=0得A（-1，0），再利用正切定义得到tan∠AD=$\frac{1}{2}$，所以∠CBE=∠ADF，根据相似三角形的判定方法，当点M在点D的下方时，设M（1，m），当$\frac{DM}{BE}$=$\frac{DA}{BC}$时，△DAM∽△BCE；当$\frac{DM}{BC}$=$\frac{DA}{BE}$时，△DAM∽△BEC，于是利用相似比得到关于m的方程，解方程求出m即可得到对应的M点的坐标；当点M在D点上方时，则∠ADM与∠CBE互补，则可判断△DAM和△BCE不相似，

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c过点B（3，0），C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）抛物线的对称轴为直线x=1，
∵点C与E点为抛物线上的对称点，
∴E（2，3），
作EH⊥BC于H，如图1，
∵OC=OB，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，BC=$\sqrt{2}$OB=3$\sqrt{2}$，
∴∠ECB=45°，
∴△CHE为等腰直角三角形，
∴CH=EH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE=$\sqrt{2}$，
∴BH=BC-CH=2$\sqrt{2}$，
在Rt△BEH中，tan∠EBH=$\frac{HE}{BH}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
即tan∠CBE的值为$\frac{1}{2}$；
（3）直线x=-1交x轴于F，如图2，
当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，则A（-1，0）
∵A（-1，0），D（1，4），
∴AF=2，DF=4，
∴tan∠ADF=$\frac{AF}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
而tan∠CBE=$\frac{1}{2}$，
∴∠CBE=∠ADF，
AD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BE=$\sqrt{（3-2）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，BC=3$\sqrt{2}$，
当点M在点D的下方时，设M（1，m），
当$\frac{DM}{BE}$=$\frac{DA}{BC}$时，△DAM∽△BCE，
即$\frac{4-m}{\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{2}}$，解得m=$\frac{2}{3}$，
此时M点的坐标为（1，$\frac{2}{3}$）；
当$\frac{DM}{BC}$=$\frac{DA}{BE}$时，△DAM∽△BEC，
即$\frac{4-m}{3\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$，解得m=-2，
此时M点的坐标为（1，-2）；
当点M在D点上方时，则∠ADM与∠CBE互补，则△DAM和△BCE不相似，
综上所述，满足条件的点M坐标为（1，$\frac{2}{3}$），（1，-2）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式．