Question

17．感知：如图①，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形ABCD内部的点F处，延长AF交CD于点G，连结FC，易证∠GCF=∠GFC．
探究：将图①中的矩形ABCD改为平行四边形，其他条件不变，如图②，判断∠GCF=∠GFC是否仍然相等，并说明理由．
应用：如图②，若AB=5，BC=6，则△ADG的周长为16．

Answer 1

分析 探究：由?ABCD及折叠可得∠B+∠ECG=∠AFE+∠ECG=∠AFE+∠EFG=180°，即∠ECG=∠EFG，再根据EB=EF=EC得∠EFC=ECF，从而可得∠GCF=∠GFC；
应用：由（1）中∠GCF=∠GFC得GF=GC，AF=AB，根据△ADG的周长AD+AF+GF+GD=AD+AB+GC+GD可得．

解答 解：探究：∠GCF=∠GFC，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠ECG=180°，
又∵△AFE是由△ABE翻折得到，
∴∠AFE=∠B，EF=BE，
又∵∠AFE+∠EFG=180°，
∴∠ECG=∠EFG，
又∵点E是边BC的中点，
∴EC=BE，
∵EF=BE，
∴EC=EF，
∴∠ECF=∠EFC，
∴∠ECG-∠ECF=∠EFG-∠EFC，
∴∠GCF=∠GFC；
应用：∵△AFE是由△ABE翻折得到，
∴AF=AB=5，
由（1）知∠GCF=∠GFC，
∴GF=GC，
∴△ADG的周长AD+AF+GF+GD=AD+AB+GC+GD=AD+AB+CD=6+5+5=16，
故答案为：应用、16．

点评 该题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题，解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点．