Question

15．如图，在⊙O中，AB，BC为互相垂直且相等的两条弦，连接AC．求证：
（1）AC是⊙O的直径；
（2）作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，则四边形ODBE是正方形．

Answer 1

分析 （1）由AB，BC为互相垂直且相等的两条弦可知∠ABC=90°，从而可知AC是直径；
（2）先证明四边形ODBE是矩形，然后证明BD=BE即可得证．

解答 解：（1）∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
（2）∵OD⊥AB，OE⊥BC，
∴四边形ODBE是矩形，
由垂径定理可知：BD=$\frac{1}{2}$AB，BE=$\frac{1}{2}$BC，
∵AB=BC，
∴BD=BE，
∴矩形ODBE是正方形，

点评 本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，正方形的判定，垂径定理等知识，综合程度较高．