Question

1．如图，在?ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．
（1）求证：△AEH≌△CGF；
（2）求证：四边形EFGH是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）欲证明四边形EFGH是菱形，只需推知四边形EFGH是平行四边形，然后证得该平行四边形的邻边相等即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C．
∴在△AEH与△CGF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CG}\\{∠A=∠C}\\{AH=CF}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D．
∵AE=CG，AH=CF，
∴EB=DG，HD=BF．
∴△BEF≌△DGH．
∴EF=HG．
又∵△AEH≌△CGF，
∴EH=GF．
∴四边形HEFG为平行四边形．
∴EH∥FG，
∴∠HEG=∠FGE．
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG=∠FEG，
∴∠FGE=∠FEG，
∴EF=GF，
∴四边形EFGH是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质．注意：本题菱形HEFG的判定是在平行四边形HEFG的基础上推知的．