Question

8．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BF=CD；
（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA=60°，BE=2$\sqrt{3}$，求平行四边形ABCD的周长．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，求出∠FAD=∠AFB，根据角平分线定义得出∠FAD=∠FAB，求出∠AFB=∠FAB，即可得出答案；
（2）求出△ABF为等边三角形，根据等边三角形的性质得出AF=BF=AB，∠ABF=60°，在Rt△BEF中，∠BFA=60°，BE=$2\sqrt{3}$，解直角三角形求出EF=2，BF=4，AB=BF=4，BC=AD=2，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴∠FAD=∠AFB，
又∵AF平分∠BAD，
∴∠FAD=∠FAB．
∴∠AFB=∠FAB．
∴AB=BF，
∴BF=CD；

（2）解：∵由（1）知：AB=BF，
又∵∠BFA=60°，
∴△ABF为等边三角形，
∴AF=BF=AB，∠ABF=60°，
∵BE⊥AF，
∴点E是AF的中点．
∵在Rt△BEF中，∠BFA=60°，BE=$2\sqrt{3}$，
∴EF=2，BF=4，
∴AB=BF=4，
∵四边形BACD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴∠DCF=∠ABC=60°=∠F，
∴CE=EF，
∴△ECF是等边三角形，
∴CE=EF=CF=2，
∴BC=4-2=2，
∴平行四边形ABCD的周长为2+2+4+4=12．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．