Question

7．如图，点O为?ABCD的对角线AC，BD的交点，∠BCO=90°，∠BOC=60°，BD=8，点E是OD上的一动点，点F是OB上的一动点（E，F不与端点重合），且DE=OF，连接AE，CF．
（1）求线段EF的长；
（2）若△OAE的面积为S₁，△OCF的面积为S₂，S₁+S₂的值是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明随着DE的增大，S₁+S₂的值是如何发生变化的？
（3）求AE+CF的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得到OD=OB，于是得到结论；
（2）如图所示，连结AF，由四边形ABCD是平行四边形，得到AO=OC，求得S_△AOF=S_△COF，于是得到S₁+S₂=S_△AEF=S_△AOD，即可得到结论；
（3）当DE=OE时，AE+CF的值最小，此时E为OD的中点，于是得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，
∵DE=OF，
∴EF=OD=$\frac{1}{2}$BD=4；
（2）S₁+S₂的值不变，理由如下：
如图所示，连结AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，
∴S_△AOF=S_△COF，
∵DE=OF，
∴S_△ADE=S_△COF，
∴S₁+S₂=S_△AEF=S_△AOD，
∵∠BCO=90°，∠BOC=60°，
∴∠DAC=90°，∠AOD=60°，
∴AO=$\frac{1}{2}$OD=2，
在Rt△AOD中，AD=$\sqrt{3}$AO=2$\sqrt{3}$，
∴S₁+S₂=S_△AOD=$\frac{1}{2}$AD•OA=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$；
（3）当DE=OE时，AE+CF的值最小，此时E为OD的中点，
∵∠OAD=90°，
∴AE=$\frac{1}{2}$OD=2，
同理BQ=2，
∴AE+CF的最小值=4．

点评 本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、三角形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要运用勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识才能得出结果．