Question

17．已知，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和BCFG；
（1）如图1，连接AF、BD，求证：AF=BD且AF⊥BD；
（2）如图2，连接GE，点P是GE的中点，求证：PD=PF；
（3）如图3，在（2）条件下，若将正方形ACDE和BCFG同时改为菱形，且∠ACD=∠ABG=60°，请探究PD与PF之间的位置关系和数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）如图1中，利用△ACF≌△DCB即可得出AF=BD，进而可得出AF⊥BD；
（2）如图2中，延长GF交DP的延长线于H．只要证明△EPD≌△GPH，推出DE=HG=CD，PH=DP，由CF=FG，推出FH=DF，∠DFH=∠CFG=90°，可得PF=DP=PH，即PD=PF；
（3）结论：PF⊥PD，DP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PF．只要证明△EPD≌△GPH，△DHF是等边三角形即可解决问题；

解答 （1）证明：如图1中，延长AF到DE于点M，

在△ACF和△DCB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACF=∠ECD}\\{FC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△DCB（SAS），
∴AF=BD，∠CAF=∠CDE，
∵∠AFC=∠DFM，∠AFC+∠FAC=90°，
∴∠DFM+∠FDM=90°，
∴AF⊥BD．

（2）证明：如图2中，延长GF交DP的延长线于H．

∵四边形ACDE、四边形BCFG都是正方形，
∴DE∥AB∥FG，
∴∠EDP=∠PHG，
∵∠EPD=∠HPG，EP=PG，
∴△EPD≌△GPH，
∴DE=HG=CD，PH=DP，
∵CF=FG，
∴FH=DF，∠DFH=∠CFG=90°，
∴PF=DP=PH，
∴PD=PF．

（3）解：结论：PF⊥PD，DP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PF．
理由：如图3中，延长GF交DP的延长线于H．

∵四边形ACDE、四边形BCFG都是菱形，
∴DE∥AB∥FG，
∴∠EDP=∠PHG，
∵∠EPD=∠HPG，EP=PG，
∴△EPD≌△GPH，
∴DE=HG=CD，PH=DP，
∵CF=FG，
∴FH=DF，∠DFH=∠CFG=60°，
∴△DHF是等边三角形，
∴PF⊥DH，∠DFP=30°，
∴DP=PF•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PF．
∴PF⊥PD，DP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PF．

点评 本题考查了四边形的综合题、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．