Question

15．如图，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于B、C两点，且3BO-$\frac{1}{2}$CO=1
（1）求点B的坐标及k的值；
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点，在点A的运动过程中，试写出△AOB的面积S与x之间的函数解析式；
（3）探索：当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是$\frac{1}{4}$？

Answer 1

分析 （1）利用坐标轴上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征先得到C（0，-1），B（$\frac{1}{k}$，0），则利用3BO-$\frac{1}{2}$CO=1得到$\frac{3}{k}$-$\frac{1}{2}$=1，解方程得到k的值，从而得到B点坐标；
（2）A点坐标表示为（x，$\frac{1}{2}$x-1），然后利用三角形面积公式求解；
（3）设A（x，$\frac{1}{2}$x-1），利用三角形面积公式得到$\frac{1}{4}$|$\frac{1}{2}$x-1|=$\frac{1}{4}$，然后解绝对值方程得到x的值，从而得到A点坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=kx-1=-1，则C（0，-1），
当y=0时，kx-1=0，解得x=$\frac{1}{k}$，则B（$\frac{1}{k}$，0），
∵3BO-$\frac{1}{2}$CO=1
∴$\frac{3}{k}$-$\frac{1}{2}$=1，
∴k=2，
∴B（$\frac{1}{2}$，0）；
（2）y=$\frac{1}{2}$x-1，
S=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$x-1）
=$\frac{1}{8}$x-$\frac{1}{4}$（x＞$\frac{1}{2}$）；
（3）设A（x，$\frac{1}{2}$x-1），
∵S=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•|$\frac{1}{2}$x-1|，
∴$\frac{1}{4}$|$\frac{1}{2}$x-1|=$\frac{1}{4}$，解得x=4或x=0，
∴A点坐标为（4，1）或（0，1），
即A点运动到（4，1）或（0，1）位置时，△AOB的面积是$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了一次函数的综合题：熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征；会求一次函数与坐标轴的交点坐标；理解坐标与图形的性质，记住三角形的面积公式．